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探索高一数学的学习策略
[来源:本站 | 作者:晨露教育 | 日期:2012年10月30日 | 浏览5081 次] 字体:[ ]

探索高一数学的学习策略

高一数学学习是中学阶段承前启后的关键期,能否适应高中数学的学习,是摆在我们面前一个亟待解决的问题。高一阶段是学习高中数学的转折点。通过初高中数学学习的比较,希望同学们能对高中数学有一定的了解。高中数学不仅在学习环境,教学内容和教学方法等外部因素有了改变,而且在观念上,也要提高认识和改进学法。

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高中数学与初中数学相比,内容上:多。时间上:少。由于内容多,所以讲课进度快。难度上:难。由于上述两点高中的数学题变式多、综合度大。

一、高中数学与初中数学特点的变化。
1
、数学语言在抽象程度上突变。
   
不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2
、思维方法向理性层次跃迁。
   
高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步,因式分解先看什么,再看什么,即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等、、、、、、分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的,便于操作的定势方式,而高中数学在思维形式上产生了很大的变化,正如上节所述,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的事,这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证形思维。
3
、知识内容的整体数量剧增
   
高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的上急剧增加了,单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多,辅助练习、消化的课时相应地减少了。这就要求第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识;第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中;第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行整体集装,如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法;第四,要多做总结、归类,建立主体的知识结构网络。

二、不良的学习状态
1
、学习习惯因依赖心理而滞后。
  
初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教学中教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的模子;第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的模子没有了,家长辅导的能力也跟不上了,由参与学习转入督促学习。许多同学进入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没听到门道
2
、思想松懈。

有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习,只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中,而且有的可能还是重点中学里的重点班,因而认为读高中也不过如此,高一、高二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。因为在我们广州市可以说是普及了高中教育,因此中考的题目并不具有很明显的选拨性,同学们都很容易考得高分。但高考就不同了,目前我们国家还不可能普及高等教育,高等教育可以说还是属于一种精英教育,只能选拨一些成绩好的同学去读大学,因此高考的题目具有很强的选拨性,如果心存侥幸,想在高三时再发奋一、二个月就考上大学,那到头来你会后悔莫及的。同学们不妨打听打听现在的高三,有多少同学就是因为高一、二不努力学习,现在临近高考了,发现自己缺漏了很多知识而而焦急得到处请家教。
3
、学不得法。

老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析重点难点,突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记了一大本,问题也有一大堆,课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是赶做作业,乱套题型,对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模仿,死记硬背,还有些同学晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本不听,自己另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。
4
、不重视基础。

一些自我感觉良好的同学,常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练,经常是知道怎么做就算了,而不去认真演算书写,但对难题很感兴趣,以显示自己的水平,好高骛远,重,陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途卡壳
5
、进一步学习条件不具备。

高中数学与初中数学相比,知识的深度、广度,能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法,实根分布与参变量的讨论,三角公式的变形与灵活运用,空间概念的形成,排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容,如不采取补救措施,查缺补漏,就必然会跟不上高中学习的要求。

三、下面提出几个建议望能深思:

1、勤看书,学研究。

  有些自我感觉良好的学生,常轻视课本中基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练,经常是知道怎么做就算了,而不去认真演算书写,但对难题很感兴趣,以显示自己的水平,重,陷入题海,到正规作业或考试中不是演算出错就是中途卡壳,变成事倍功半 。因此,同学们最好从高一开始,增强自己从课本入手进行研究的意识:预习,复习。可以把每条定理、每道例题都当作习题,认真地重证、重解,并适当加些批注(如数学符号在不同范畴的含义,不同领域之间的关系),举个例子:x+y=0可以是二元一次方程,写成y=-x又可看成一次函数。特别是可以通过对典型例题的讲解分析,最后抽象出解决这类问题的数学思想和方法,并做好书面的解题后的反思,总结出解题的一般规律和特殊规律,以便推广和灵活运用。另外,希望你们要尽可能独立解题,因为求解过程,也是培养分析问题和解决问题能力的一个过程,同时更是一个研究过程。

2、注重课堂,记好笔记。

  首先,在课堂教学中培养好的听课习惯是很重要的。听当然是主要的,听能使注意力集中,注意积极思考、分析问题,要把老师讲的关键性部分听懂、听会。提高数学能力,锻炼自己的思维,主要也是通过课堂来提高,要充分利用好课堂这块阵地,学习数学的过程是活的,在随着教学过程的发展而变化,尤其是当老师注重能力教学的时候,教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的,无论是形成一个概念,掌握一条法则,会做一个习题,都应该从不同的能力角度来培养和提高。课堂上通过老师的教学,理解所学内容在教材中的地位,弄清与前后知识的联系等,只有把握住教材,才能掌握学习的主动。

  其次,听的时候不能光听,为了往后复习,应适当地有目的性的记好笔记,领会课上老师的主要精神与意图。科学的记笔记可以提45钟课堂效果。 三、做好作业,讲究规范。

  在课堂、课外练习中培养良好的作业习惯也很有必要。在作业中不但做得整齐、清洁,培养一种美感,还要有条理,这是培养逻辑能力的一条有效途径,必须独立完成。同时可以培养一种独立思考和解题正确的责任感。在作业时要提倡效率,应该十分钟完成的作业,不拖到半小时完成,疲疲惫惫的作业习惯使思维松散、精力不集中,这对培养数学能力是有害而无益的。抓数学学习习惯必须从高一年级主动抓起,无论从年龄增长的心理特征上讲,还是从学习的不同阶段的要求上讲都应该进行学习习惯的培养。

3、写好总结,把握规律。

  一个人不断接受新知识,不断遭遇挫折产生疑问,不断地总结,才有不断地提高。" 不会总结的同学,他的能力就不会提高,挫折经验是成功的基石。" 自然界适者生存的生物进化过程便是最好的例证。学习要经常总结规律,目的就是为了更一步的发展。通过与老师、同学平时的接触交流,逐步总结出一般性的学习步骤,它包括:制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面,简单概括为四个环节(预习、上课、整理、作业)和一个步骤(复习总结)。每一个环节都有较深刻的内容,带有较强的目的性、针对性,要落实到位。坚持两先两后一小结(先预习后听课,先复习后做作业,写好每个单元的总结)的学习习惯。善于归纳总结知识间的联系。

  学习数学并非我做题就可以取得好的成绩,而是要将精力花在归纳总结上。特别对课本或课堂上出现的例题,只要善于总结,就可以了解这一小节数学内容有哪几种题型,每种题目的一般解法和思路是什么,从而提高运用所学知识分析解题的能力。同时,每学完一个单元,要建立本单元的知识框架,将本章的主要思路、推理方法及运用技巧等转变成自己的实际技能。

4、注重反思,提升能力

  学习要注重反思,练好悟性。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵外延,分析重点难点,突出思想方法,而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记了一大本,问题也有一大堆,课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是忙于赶做作业,乱套题型,对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模仿,死记硬背,也有的晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本不听,自己另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。数学学科必须培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象力以及运用所学知识分析问题、解决问题的重任,它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的适用性,对能力的要求较高。数学能力只有在数学思想方法不断地运用反思中才能培养和提高。数学内容的巨变和学习方法的落后,在学习高中数学的过程中,肯定会遇到不少困难和问题,同学们要有克服困难的勇气和信心,胜不骄,败不馁,千万不能让问题堆积如山,形成恶性循环,而是要在老师的引导下,寻求解决问题的办法,培养分析问题,解决问题的能力,这就是最好的悟性。

学会发现问题,并重视质疑在学习中常看到成绩好的同学,总是有很多问题问老师。提出疑问不仅是发现真知的起点,而且是发明创造的开端。提高学习成绩的过程就是发现,提出并解决疑问的过程。大胆向老师质疑,不是笨的反映,而是在追求真知、积极进取的表现。在听课中,不但要知其然,还要知其所以然,这样疑问也就在不断产生,再加以分析思考使问题得以解决,学习也就得到了长进。

  再次,如果数学课没有一定的速度,那是一种无效学习。慢腾腾的学习是训练不出思维速度,训练不出思维的敏捷性,是培养不出数学能力的,这就要求在数学学习中一定要有节奏(有目的进行限时训练),这样久而久之,思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。

  最后,在数学课堂中,老师一般少不了提问与板演,有时还伴随着问题讨论,因此可以听到许多的信息,这些问题是很有价值的。对于那些典型问题,带有普遍性的问题都必须及时解决,不能把问题的结症遗留下来,甚至沉淀下来,有价值的问题要及时抓住,遗留问题要有针对性地补,注重实效。

高一阶段要在一年中需要讲完4本书(必修1、必修3(上半学期)、必修4、必修5(下半学期))而在高一上半学期中,必修1中的函数是整个学期的重点也是难点,因为函数是贯穿整个高中数学的一个知识点,它的整个思想不仅仅在高一中单独出现,而且在以后的高二、高三学习中函数的思想都是时刻的体现出来的。

 

 

一、函数部分:

1.函数

1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。

2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。

3)了解简单的分段函数,并能简单应用。

4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。

5)会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2.指数函数

1)了解指数函数模型的实际背景。

2)理解有理指数幂的含义,了解褛指数幂的意义,掌握幂的运算。

3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。

4)知道指数函数是一类重要的函数模型。

3.对数函数

1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。

2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。

3)知道对数函数是一类重要的函数模型。

4)了解指数函数 与对数函数 互为反函数( )。

4.幂函数

1)了解幂函数的概念

2)结合函数 的图象了解它们的变化情况。

要点考向一:基本初等函 数问题

考情聚焦:1.一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数,在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。

2.常与函数的性质、方程、不等式综合命题,多以选择、填空题的形式出现,属容易题。

考向链接:1.一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键,同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用

2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。

12010·全国高考卷Ⅱ文科·T4函数y=1+lnx-1(x>1)的反函数是

A  y= -1(x>0)       (B) y= +1(x>0) 

(C)  y= -1(x R)     (Dy= +1 (x R)

   【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

   【思路点拨】运用求反函数的方法解。

   【规范解答】 选Dy=1+lnx-1),lnx-1=y-1,x-1=e ,所以反函数为y= +1 (x R)

【方法技巧】求反函数的步骤:(1)反 x,即用y表示x.

(2)xy互换,

3)写出反函数的定义域,即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。

2:(2010·天津高考科·T6     

(A)a<c<b     (B) )b<c<a   (C) )a<b<c    (D) )b<a<c

【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。

【思路点拨】根据对数的性质及对数函数 的图像,可得

【规范解答】选D,由对数函数 的图像,可得

  ,又

【方法技巧】比较对数函数值的大小问题,要特别注意分清底数是否相同,如果底数相同,直接利用函数的单调性即可比较大小;如果底数不同,不仅要利用函数的单调性,还要借助中间量比较大小。

要点考向二:函数与映射概念的应用问题

考情聚焦:1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式的确定与应用。

2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题,属低、中档题。

考向链接:1.求函数定义域的类型和相应方法。

2.f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,面对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。

3.求函数的解析式,常见命题规律是:先给出一定的条件确定函数的解析式,再研究函数的有关性质;解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。

4.映射个数的计算一般要分类计数。

32010·天津高考理科·T8若函数f(x)= ,f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是        (   )

A)(-10)∪(01              B)(-∞,-1)∪(1,+∞)  

C)(-10)∪(1,+∞)                D)(-∞,-1)∪(0,1

【命题立意】考查对数函数的图像和性质。

【思路点拨】对a进行讨论,通过图像分析f(a)>f(-a)对应的实数a的范围。

【规范解答】选C,当a>0,即-a<0时,由f(a)>f(-a) 在同一个坐标系中画出 函数的图像由图像可得a>1a<0,-a>0同理可得-1<a<0综上可得a的取值范围是-10)∪(1,+∞)

要点考向三:函数图象问题

考情聚焦:1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏”,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器,已成为各省市高考命题的一个热点。

2.常以几类初等函数的图象为基础,结合函数的性质综合考查,多以选择、填空题的形式出现。

考向链接:1.基本初等函数的图象和性质,函数图象的画法以及图象的三种变换。

2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。

3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。

42010·山东高考理科·T11函数 的图象大致是(  

   【命题立意】本题考查函数的图象,函数的基础知识以及数形结合的思维能力,

考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。

   【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析.

   【规范解答】选A,因为当x24时, ,所以排除BC;当x-2时,2x - ,故排除D,所以选A.

要点考向四:函数性质问题

考情聚焦:该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题,且常考常新,既有小题,也有大题,主要从以下三个方面考查:

1.单调性(区间)问题,热点有:(1)确定函数单调性(区间);(2)应用函数单 调性求函数值域(最值)、比较大小、求参数的取值范围、解(或证明)不等式。

2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。

3.最值(值域)问题,考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。

1. 2010·上海高考理科·T8对任意不等于1的正数a,函数f(x)= 的反函数的图像都经过点P,则点P的坐标是        

【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质.

【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点,再由反函数的性质找到关于直线y=x的对称点.

【规范解答】 .因为函数 的图像过定点 ,由反函数的性质可知,反函数的图像过定点

 

二、数列部分:

1弄清等差、等比数列的基本概念及性质,掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式。

2.掌握特殊数列的求和方法。如:倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。

3.利用数列中 之间的关系,求能项公式及解决其他数列问题。

4.利用数列的递推关系,求通项公式,结合n项和公式,解决数列应用题。

5.数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合,综合考查等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用。

6.利用方程的思想、根据公式列方程(组),解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题;利用函数的思想或根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和 的最值问题;利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问 题转化为等差、等比数列问题来解决;利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题。

要点考向1:有关等差数列的基本问题

考情聚焦:1等差数列作为高考中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。

2该类问题一般独立命题,考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n项公式,有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。

考向链接:1涉及等差数 列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题;

2等差数列前n项和的最值问题,经常转化为二次函数的最值问题;有时利用数列的单调性(d0,递增;d0,递减);

3证明数列{ }为等差数列有如下方法:①定义法;证明 (与n值无关的常数);②等差中项法:证明

12010·浙江 高考文科·T19a1d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足 +15=0

(Ⅰ)若 =5,求 a1

(Ⅱ)求d的取值范围。

【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。

【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和求解即可。

【规范解答】()由题意知S6= =-3,  =S6-S5=-8所以

解得a1=7,所以S6= -3,a1=7

()方法一:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2a12+9da1+10d2+1=0.

(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28.[  d的取值范围为d-2 d2 .

方法二:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2a12+9da1+10d2+1=0.

看成关于 的一元二次方程因为有根所以 解得

要点考向2:有关等比数列的基本问题

考情聚焦:1等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。

2该类问题有时单独命题,考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式;但更多的是与函数的单调性、不等式结合在一起,在知识交汇点 处命题。

3选择、填空及解答题中都有可能出现,属中、高档题。

考向链接:1)证明数列{ }为等比数列有如下方法:

①定义法:证明

②等比中项法:

2)求一般数列{ }通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。

22010·辽宁高考理科·T6{an}是有正数组成的等比数列, 为其前n项和。已知a2a4=1, , (    )

A      (B)    (C)     (D)  

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式

【思路点拨】列出关于a1 q 的方程组,解出a1 q 再利用前n项和公式求出

【规范解答】选B。根据题意可得:

要点考向3:等差、等比数列综合问题

考情聚焦

1等差、等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所体现。

2单独考查等差数列或等比数列的问题较少,大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现,在两知识的交汇点处命题,同时考查其他数学知识、思想方法等。

3多以解答题的形式出现,属中、高档题目。

32010·陕西高考理科·T16

已知 是公差不为零的等差数列, 成等比数列

(Ⅰ)求数列 的通项公式,(Ⅱ)求数列 的前n项和

【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查考生的运算求解能力.

【思路点拨】已知 关于d的方程 d

【规范解答】

【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

2数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由 求通项,累加法、累乘法等

3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。

4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.

三、数列求和:

1.了解数列求和的基本方法。

2.能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应问题。

3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

要点考向1:可转化为等差、等比数列的求和问题

 

考情聚焦:1可转化为等差或等比数列的求和问题,已经成为高考考查的重点内容之一。

2该类问题出题背景选择面广,易与函数方程、递推数列等知识综合,在知识 交汇点处命题。

3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题目。

考向链接:某些递推数列可转化为等差、等比数列解决,其转化途径有:

1凑配、消项变换——如将递推公式 qd为常数,q0,≠1)。通过凑配变成 ;或消常数转化为

2倒数变换—如将递推公式 cd为非零常数)取倒数得

3对数变换——如将递推公式 取对数得

4换元变换——如将递推公式 qd为非零常数,q1d1)变换成 ,令 ,则转化为 的形式。

12010·福建高考文科·T17数列{ } ,前n项和 满足 -  n .

   ( I ) 求数列{ }的通项公式 以及前n项和

  II)若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数t的值。

【命题立意】本题考查数 列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数方程思想、化归转化思想。

【思路点拨】第一步先求 的通项,可知 为等比数列,利用等比数列的前n项和求解出 ;第二步利用等差中项列出方程求出t 

 规范解答】 ( I ) ,又 ,故 ,从而

II)由( I ) 从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得 解得

【方法技巧】要求数列通项公式,由题目提供的是一个递推公式,如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题,这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地,含有 的递推关系式,一般利用 化“和”为“项”。

要点考向2:错位相减法求和

考情聚焦:1错位相减法求和,是高中数学中重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容。

2该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。

3多以解答题的形式出现,属于中、高档题。

考向链接:几种求通项及求和方法

1)已知 ,求 可用叠加法,即

2)已知 ,求 可用叠乘法,即

3)设{ }为等差数列, 为等比数列,求数列 的前n项和可用错位相减法。

22010 ·海南宁夏高考·理科T17设数列 满足

 (Ⅰ)求数列 的通项公式:

 (Ⅱ)令 ,求数列 的前n项和 .

【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前 项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到规律,利用等比数列的性质解题.

【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,在求数列的前n项和.

【规范解答】(Ⅰ)由已知,当 时,

,满足上述公式,

所以 的通项公式为 .

(Ⅱ)由 可知,

      

从而         

②得

        

 

【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和.

要点考向3:裂项相消法求和

考情聚焦:1裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容。

2该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数 、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。

3多以解答题的形式出现,属中、高档题目。

考向链接:裂项求和的几种常见类型

1

2

3

4

5)若 是公差为d的等差数列,则

6

7

8

32010·山东高考理科·T18已知等差数列 满足: 的前n项和为

1)求

2)令   (n N*),求数列 的前n项和

 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.

 【思路点拨】(1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出求 (2)(1)求出 的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.

 【规范解答】(1)设等差数列 的公差为d,因为 ,所以有

,解得

所以 = = .

2)由(1)知 ,所以bn= = =

所以 = =

即数列 的前n项和 = .

【方法技巧】数列求和的常用方法:

1、直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对公比 的讨论.

2、错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.

3、分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.

4、裂项相消法:主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注意一般情况下剩下正负项个数相同.[来源:**]

5、倒序相加法:把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).

四、三角函数部分:

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

3.能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

4.能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)。

5.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题。

6.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

要点考向1:三角变换及求值

考情聚焦:1利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

2该类问题出题背景选择面广,解答题中易出现与新知识的交汇题。

3该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现,属中、低档题。

考向链接: 1在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时,常用到如下变形

1

2)角的变换

3

2利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题,常见有以下三种类型:

1)“给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等变换求三角函数式的值;

2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的其他三角函数式的值;

3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角。

1已知向量 ,

()tan A的值

()求函数 R)的值域

解析(Ⅰ)由题意得m·n=sinA- 2cosA=0,

因为cosA0,所以tanA=2.

(Ⅱ)(Ⅰ)tanA=2

 

因为x R,所以 . 时,f(x)有最大值

sinx= -1时,f(x)有最小值-3  

所以所求函数f(x)的值域是   

要点考向2:正、余弦定理的应用

考情聚焦:1 利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题,在近3年新课标高考中都有出现,预计将会成为今后高考的一个热点。

2该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景,考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。

3多以解答题的形式出现,有时也在选择、填空题中出现。

考向链接:1在三角形中考查三角函数式变换,是近几年高考的热点,它是在新的载体上进行的三角变换,因此要时刻注意它重要性:一是作为三角形问题,它必然要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,及时进行边角转化,有利于发现解决问题的思路;其二,它毕竟是三角形变换,只是角的范围受到了限制,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的,注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,是使问题获得解决的突破口。

2在解三角形时,三角形内角的正弦值一定为正,但该角不一定是锐角,也可能为钝角(或直角),这往往造成有两解,应注意分类讨论,但三角形内角的余弦为正,该角一定为锐角,且有惟一解,因此,在解三角形中,若有求角问题,应尽量避免求正弦值。

22010·辽宁高考理科·T17在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且

     (Ⅰ)求A的大小;

(Ⅱ)求 的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。

【思路点拨】(I)根据正统 定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角

II)由(I)知角C60°-B代入sinB+sinC中,看作关于角B的函数,进而求出最值

【规范解答】(Ⅰ)由已 知,根据正弦定理得

   

    由余弦定理得   

  A=120°                          

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

   

                

故当B30°时,sinB+sinC取得最大值1

【方法技巧】

(1)利用正弦定理,实现角的正 弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,c替换sinCsinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C60°

要点考向3:三角函数的实际应用

考情聚焦:1有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。

2该类问题以实际问题为背景,其建模后为解三角形问题,与三角函数及三角变换等知识交汇。

3多以解答题的形式出现,题目不会太难。

32010·江苏高考·T17某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE= ,∠ADE=

(1) 该小组已测得一组 的值,算出了tan =1.24tan =1.20,请据此算出H的值;

(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使 之差较 大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时, - 最大?

【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及                              不等式的 应用。

【思路点拨】(1)分别利用 表示ABADBD,然后利用ADAB=DB求解;

2)利用基本不等式求解.

【规范解答】(1 ,同理:

 ADAB=DB,故得 ,解得:

因此,算出的电视塔的高度H124m

2)由题设知 ,得

,(当且仅当 时,取等号)

故当 时, 最大。

因为 ,则 ,由 的单调性可知:当 时, - 最大。

故所求的 m

五、三角函数的图象与性质

1.了解任意角、弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化。

2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出y=sinxy=cosxy=tanx的图象,了解三角函数的周期性。

4.理解正弦函数、余弦函数在区间[0 ]的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间 的单调性。

5.理解同角三角函数的基本关系式:

sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.

6.了解函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响。

7.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题。

要点考向1:三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用

考情聚焦:1三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用,在近几年高考中时常出现。

2该类问题出题背景选择面广,易形成知识交汇题。

3多以选择题、填空题的形式出现,属于中、低档题。

考向链接:1三角函数的定义是求三角函数值的基本依据,如果已知角终边上的点,则利用三角函数的定义,可求该角的正弦、余弦、正切值。

2同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注意公式应用的条件。

1:(2010届·日照五莲一中高三段检如图,以Ox为始边作角α与β( ,它们终边分别与单位圆相交于点PQ,已知点P的坐标为(

   1)求 的值;

   2)若 · ,求

       解:(1)由三角函数定义得         

       ∴原式

       ·( =

   2 · ,∴      

       ,∴

                    

      

        

要点考向2函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象问题

考情聚焦:1三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式的问题,年看都会在高考中出现。

2试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条件下,求解析式或另处一些量。多数考 查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。

3三种题型都有可能出现,属于中、低档题。

考向链接:1 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)A0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法。 由图中的最大、最小值求出A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ的值。

2 将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为 ,其他依次类推即可。

2已知 是实数,则函数 的图象不可能 (    )

【解析】选D.对于振幅大于1时,三角函数的周期为 ,而D不符合要求,

它的振幅大于1,但周期反而大于了

要点考向3:与三角函数的性质有关的问题

考情聚焦:1有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查,是高考考查的重点内容。

2试题背景呈现多样性、选择面广,往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。

3.三种题型都有可能出现,属中、低档题。

3已知函数

的最小正周期及对称中心;

,求 的最大值和最小值.

【解析】  

的最小正周期为

,则

的对称中心为

⑵∵      

时, 的最小值为 ;当 时, 的最大值为  

六、不等式

1.不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。

2.一元二次不等式

1)会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

3.二元一次不等式组与简单线性规划问题

1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

2)了解二地一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。

3)会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

4.基本不等式:

1)了解基本不等式的证明过程。

2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

 

要点考向1:不等式的求解问题

 

考情聚焦:1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现。

2.常考查一元 二次不等及可转化为一元二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主,属中档题。

考向链接:1.求解一元二次方程不等式的基本思路:先化为一般形式 ,再求相应一元二次方程 的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集。

2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式 (一般为一元二次不等式)求解。

3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。

12010·全国卷Ⅰ文科·T13)不等式 的解集是               .

【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法

【思路点拨】首先将 因式分解,然后将 化为三个因式乘积的形式,

采用“序轴标根法”即穿根法求解集.

【规范解答】

数轴标根得:

【答案】

要点考向2:不等式恒成立问题

考情聚集:1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点,在各 省市高考中占较大比重且点重要的位置。

2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题,多以解答题的形式出现,属中档偏上题目。

考向链接:求解不等式恒成立问题的常用思想方法:

1.分离参数法:通过分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题求解。

2.函数思想:转化为求含参数的最值问题求解。

3.数形结合 思想:转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。

2已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,8xf(x)4(x2+1)对于xR恒成立.

(1)f(1);

(2)f(x)的表达式;

(3) ,定义域为D,现给出一个数学运算程序:

xnD,则运算继续下去;若xn D,则运算停止.给出 , 请你写出满足上述条件的

集合D={x1,x2,x3,,xn}.

解析:(1)8xf (x)4(x2+1),x=18f (1)8,

f (1)=8.

(2)f (x)=ax2+bx+c(a0),(1)f (-1)=0 b=4,a+c=4.

ax2+bx+c8x,ax2-4x+c0,xR恒成立,

,(a-2)20,a=2,c=2.f (x)=2(x+1)2.

(3)g(x)=

由题意x1= ,x2=g(x1)= ,x3=g(x2)=- ,x4=g(x3)=-1,x5无意义,故D={ , ,- ,-1}

要点考向3:线性规划问题

考情聚焦:1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能,是各省市高考的重点.

2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题,多以选择、填空题形式出现。

考向链接:1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.

2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.

3: 2010·安徽高考文科·T8x,y满足约束条件 则目标函数z=x+y的最大值是(  

A3              B 4              C 6              D8

【命题立意】本题主要考查线性规划问题,考查考生的作图、运算求解能力。

【思路点拨】由约束条件画可行域 确定目标函数的 最大值点 计算目标函数的最大值

【规范解答】C.约束条件 表示的可行域是一个三角形区域,3个顶点分别是 ,目标函数 取最大值6,故C正确.

【方法技巧】解决线性规划问题,首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域),则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值.

要点考向4:利用基本不等式求最值问题

考情聚焦:1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法,为近几年各省市高考的热点.

2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题,多以中档题形式出现.

 


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